Завдання на рух по воді, по замкнутій трасі і рух протяжних тіл (навчальні модулі для дистанційної самопідготовки).

Представлені в комплекті презентаційні матеріали можуть бути використані на уроках або факультативних заняттях в середній ланці, тому що дані завдання в підручниках не подаються.

Глави 1-5 статті, в тому числі Ресурс «Завдання на рух по річці», опубліковані в №29 «Учительській газети» від 17 липня 2012 року.

5. Ресурс «Завдання на рух по колу (кільцевій трасі)». Коротка анотація.

У ресурсі представлено 7 завдань.

Зрозуміти суть руху по колу нескладно. Динамічна модель на другому слайді допоможе дітям в осмисленні таких завдань. Запускати модель можна багаторазово. Не важливо, скільки кіл «намотають» учасники забігу по кільцевій трасі. Щоб відбулася зустріч, кількість кіл одного повинно бути рівно на один круг більше, ніж в іншого.

Приклади. Один проїхав 3 кола, значить, другий, щоб наздогнати суперника повинен проїхати за той же час 4 кола. Один проїхав 10 кіл, значить, другий, щоб наздогнати суперника, повинен проїхати за той же час 11 кіл. І т.д.

Якщо два велосипедиста одночасно починають рух по колу в одну сторону зі швидкостями v 1 і v 2 відповідно (v1> v 2 відповідно), то перший велосипедист наближається до другого зі швидкістю v 1 - v 2 (швидкість навздогін). У момент, коли 1-й велосипедист в перший раз наздоганяє 2-го, він проходить відстань на одне коло більше. У момент, коли 1-й велосипедист вдруге наздоганяє 2-го, він проходить відстань на два кола більше і т.д. Дані завдання нічим не відрізняються від завдань на рух навздогін. Багато можна вирішити арифметичним способом. Другий спосіб вирішення оформлений в нотатках до слайдів.

Завдання 3. Два мотоцикліста стартують одночасно в одному напрямку з двох діаметрально протилежних точок кругової траси, довжина якої дорівнює 14 км. Через скільки хвилин мотоциклісти порівняються в перший раз, якщо швидкість одного з них на 21 км / год більше швидкості іншого?

Другий спосіб в нотатках до слайда.

Швидкість одного на 21 км / год більше швидкості другого - це означає, що швидкість в навздогін 21 км / год.

Дізнаємося, за який час він ліквідує різницю в 7 км (саме таку відстань між ними спочатку - це половина кола від усієї траси 14 км).

7: 21 = 1/3 (ч)

Залишилося перевести 1/3 ч в хвилини - це 20 хв.

Акцентуємо увагу на тонкощах: треба розуміти, що за 20 хвилин мотоцикліст проїде не 7 км, а може більше кола. Мотоцикліст подолає різницю в 7 км.

Завдання 4. Лижні змагання проходять на круговій лижні. Перший лижник проходить одне коло на 2 хвилини швидше другого і через годину випереджає другого рівно на один круг. За скільки хвилин другий лижник проходить одне коло?

Якщо відстань між пунктами, з яких починають рух два тіла, не задано, іноді буває зручно покласти його рівним одиниці. Це правило застосовується і в завданнях на рух по колу. Відстань не задано, тому зручно вважати, що довжина всієї траси 1 частина. Якщо час в завданні дано в хвилинах, то швидкість буде виражатися в особливих одиницях: частина / хв.

«Перший лижник проходить одне коло на 2 хвилини швидше другого». Ця фраза допоможе висловити швидкість кожного лижника.

У першій таблиці виводяться швидкості лижників. У другій таблиці виводяться відстані, які пройдуть лижники через 1 годину (60 хв). На виході стрілкою показано умова, яке призведе до складання рівняння: перший лижник випереджає суперника на одне коло (1 частина).

Скріншот динамічної моделі до задачі 4.

Скріншот динамічної моделі до задачі 4

Запустивши модель, можна порахувати кількість кіл, яке пройшов кожен лижник. Перший лижник наздогнав другого і пройшов при цьому на 1 коло більше.

Завдання 1, 2, 5 і 7 у вкладеному файлі.

Завдання 6. З пункту A кругової траси виїхав велосипедист, а через 30 хвилин слідом за ним відправився мотоцикліст. Через 10 хвилин після відправлення він наздогнав велосипедиста в перший раз, а ще через 30 хвилин після цього наздогнав його вдруге. Знайдіть швидкість мотоцикліста, якщо довжина траси дорівнює 30 км. Відповідь дайте у км / год.

На одному слайді докладно розбирається ситуація з умови задачі, коли відбулася перша зустріч. Велосипедист був у шляху до першої зустрічі 40 хв (2/3 ч), а мотоцикліст - 10 хв (1/6 ч). Відстань за цей час вони проїхали рівне. Час руху по-різному, але рівні відстані, пройдені кожним учасником. Ця умова нам допоможе скласти рівняння.

В отриманому рівнянні дві невідомих величини, тому необхідно ще одне рівняння, що зв'язує невідомі величини.

На іншому слайді розбирається ситуація зі другою зустріччю. Велосипедист і мотоцикліст були в дорозі на трасі 30 хв (1/2 ч) від точки першої зустрічі до точки другої зустрічі, адже вони почали рух одночасно від місця 1-й зустрічі. Час руху одно, але мотоцикліст за цей час проїхав на 1 коло більше.

Скріншот до задачі №6.

6. Ресурс «Завдання на рух протяжних тіл». Коротка анотація.

У ресурсі представлено 7 завдань.

У завданнях на рух протяжних тіл потрібно, як правило, визначити довжину одного з них. Найбільш типова ситуація: визначення довжини поїзда, що проїжджав повз стовпа або протяжної платформи. У першому випадку поїзд проходить повз стовпа відстань, рівну довжині поїзда, у другому випадку - відстань, яка дорівнює загальній кількості довжин поїзда і платформи.

Завдання 1. Поїзд, рухаючись рівномірно зі швидкістю 80 км / год, проїжджає повз придорожнього стовпа за 36 секунд. Знайдіть довжину поїзда в метрах.

Пройдену відстань дорівнює довжині поїзда - це перший і головний крок в міркуваннях. Далі залишається висловити задані величини в задачі в подібних одиницях виміру і знайти відстань, яке пройде поїзд за 36 секунд зі швидкістю 80 км / год - це і буде шукана довжина поїзда.

На слайді є допомога: повторення взаємозв'язку між одиницями часу. Зручна схема нагадає, як перевести час, заданий в секундах, в хвилини і в годинник.

Завдання 2. Поїзд, рухаючись рівномірно зі швидкістю 60 км / год, проїжджає повз лісосмуги, довжина якої дорівнює 400 метрам, за 1 хвилину. Знайдіть довжину поїзда в метрах.

Скріншот до задачі №2.

Скріншот до задачі №2

На динамічної моделі добре видно, що повз лісосмугу недостатньо проїхати першого вагона. Необхідно проїхати вперед на відстань, рівну всій довжині складу, тобто треба прокатати вперед все вагони до останнього! Тоді пройдену відстань дорівнює довжині поїзда плюс довжині лісосмуги - це перший і головний крок в міркуваннях. Далі залишається висловити задані величини в задачі в подібних одиницях виміру і знайти відстань, яке пройде поїзд за 1 хвилину зі швидкістю 60 км / год - це буде довжина поїзда разом з лісосмугою.

Можна вирішити задачу, склавши рівняння. На наступному слайді показаний другий спосіб. Для складання рівнянь використовується формула зв'язку відстані, швидкості і часу.

Завдання 3. По морю паралельними курсами в одному напрямку йдуть два суховантажі: перший довжиною 120 метрів, другий - довжиною 80 метрів. Спочатку другий суховантаж відстає від першого, і в певний момент часу відстань від корми першого суховантажу до носа другого становить 400 метрів. Через 12 хвилин після цього вже перший суховантаж відстає від другого так, що відстань від корми другого суховантажу до носа першого дорівнює 600 метрам. На скільки кілометрів на годину швидкість першого суховантажу менше швидкості другого?

При вирішенні завдань на рух двох тіл часто дуже зручно вважати одне тіло нерухомим, а інше - що наближається до нього зі швидкістю, яка дорівнює сумі швидкостей цих тіл (при русі назустріч) або різниці швидкостей (при русі навздогін). Така модель допомагає розібратися з умовою завдання, отримати потрібні рівняння.

Будемо вважати, що перший суховантаж нерухомий, а другий наближається до нього зі швидкістю v (м / хв), що дорівнює різниці швидкостей другого і першого суховантажів. Прекрасне доповнення до задачі динамічна модель руху. Починається показ з моменту, коли другий суховантаж відстає від першого. На носі другого суховантажу закріплений прапорець, він допоможе збагнути, на яку відстань він повинен обігнати баржу.

Звичайно, важливо, щоб учень зрозумів, що другий суховантаж пройде не 1200 м, а значно більше! 1200 м - це відстань, на яке він повинен обігнати баржу. А пройти він за цей час може 4000 або 5000 м. Але я думаю, навіть якщо учень не зовсім розуміє суть, він може довести завдання до правильної відповіді.

Завдання 4. За двома паралельними залізничних колій в одному напрямку йдуть пасажирський і товарний потяги, швидкості яких дорівнюють відповідно 90 км / год і 30 км / год. Довжина товарного поїзда дорівнює 600 метрам. Знайдіть довжину пасажирського поїзда, якщо час, за яке він пройшов повз товарного поїзда, дорівнює 1 хвилині. Відповідь дайте у метрах.

Будемо вважати, що один поїзд нерухомий, а другий наближається до нього зі швидкістю v (м / хв), що дорівнює різниці швидкостей поїздів. Тоді за 1 хвилину другий поїзд обжене перший на відстань, яка дорівнює загальній кількості довжин цих складів.

Зручно вирішувати такі завдання за допомогою рівняння. Якщо на уроці вчителю не вистачає часу розглядати різні способи вирішення завдань, то дистанційно він може запропонувати познайомитися з різними способами. Учень визначиться, що йому підходить, що більш зрозуміло. А також дитина може запропонувати свій спосіб вирішення на сайті.

Завдання 5. За двома паралельними залізничних коліях назустріч один одному йдуть швидкий і пасажирський потяги, швидкості яких дорівнюють відповідно 65 км / год і 35 км / год. Довжина пасажирського поїзда дорівнює 700 метрам. Знайдіть довжину швидкісного потяга, якщо час, за яке він пройшов повз пасажирського поїзда, так само 36 секундам. Відповідь дайте у метрах.

Завдання 6. Поїзд, рухаючись рівномірно зі швидкістю 54 км / год, проїжджає повз йде паралельно шляхах зі швидкістю 6 км / год назустріч йому пішохода за 30 секунд. Знайдіть довжину поїзда в метрах.

Будемо вважати, що пішохід нерухомий, а поїзд рухається зі швидкістю v (м / хв), яка дорівнює сумі швидкостей поїзда і пішохода. Пішохід не має «протяжної» довжини (якби це була колона солдатів, то ми б врахували це).

За 30 секунд зі швидкістю, що дорівнює різниці швидкостей поїзда і пішохода, поїзд пройде відстань, рівну своїй довжині.

Завдання 7. Поїзд, рухаючись рівномірно зі швидкістю 65 км / год, проїжджає повз йде в тому ж напрямку паралельно шляхах зі швидкістю 5 км / год пішохода за 30 секунд. Знайдіть довжину поїзда в метрах.

Будемо вважати, що пішохід нерухомий, а поїзд рухається зі швидкістю v (м / хв), що дорівнює різниці швидкостей поїзда і пішохода. Пішохід не має «протяжної» довжини.

За 30 секунд зі швидкістю, що дорівнює різниці швидкостей поїзда і пішохода, поїзд пройде відстань, рівну своїй довжині.

Використані джерела і література

1) Відкритий банк завдань ЄДІ з математики. ЄДІ 2011 року. http://mathege.ru/or/ege/Main.html

2) Римкевіч А.П. Фізика. Задачник. 10-11 кл. Посібник для загальноосвіт. навч. закладів. - 5-е изд. Перераб. - М .: дрохв, 2001. - 192с .: іл. - (задачники «Дрохви».)

3) Вікіпедія. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0 % BD% D0% BD% D0% BE% D0% B5_% D0% BE% D0% B1% D1% 83% D1% 87% D0% B5% D0% BD% D0% B8% D0% B5

4) ЄДІ 2010. Математика. Завдання В12. С.А. Шестаков, Д.Д. Гущин. За редакцією А. Л. Семенова та І. В. Ященко. Розроблено МІОО. Електронна версія збірника http://www.2x2abc.com/forum/users/2010/B12.pdf

5) Дидактичні основи комп'ютерних технологій. http://xa.ucoz.com/news/2010-04-04-2

Олена Савченко,

вчитель математики гімназії №1 міста Полярні Зорі Мурманської області, переможець XIV Всеросійського конкурсу «Сто друзів»
У вкладених файлах - три презентації.

Через скільки хвилин мотоциклісти порівняються в перший раз, якщо швидкість одного з них на 21 км / год більше швидкості іншого?
За скільки хвилин другий лижник проходить одне коло?
На скільки кілометрів на годину швидкість першого суховантажу менше швидкості другого?